수학은 희망대학에 진학하기 위해서는 꼭 정복해야 하고 수학 성적에 따라 대학선택의 폭도 좌우될 정도다. 고등학생들이 수학 공부에서 가장 어려워하는 점은 '막힘현상'이다. 이 막힘현상을 해결하려면 '유형별 독파와 역추론 기법의 조화'가 필요하다.

수학은 유형 속의 세부 유형별로 단계적으로 학습을 해야 효과가 매우 크다. A라는 유형을 정복한다면 A속의 a라는 유형을 세분하고 단계별로 반복·검토·확인해야 된다. 만약 여러 유형들을 혼합식으로 공부하면 문제마다 처음부터 새롭게 파악해야 되지만, 한 유형의 관련문제를 접하면 추가된 내용만 체크하면 되기 때문에 집중력이 커지고 가속이 붙는다.

특히 심화문제의 막힘현상은 창의성이 동반되지 않고서는 문제를 해결할 수 없다. 그 창의성이 불꽃처럼 반짝이게 만드는 원재료가 배경지식과 레퍼토리의 접목이다. 배경지식이란 관련개념을 원개념에 융화하는 것이고, 레퍼토리는 추가된 질문이나 응용문제에 생각이 잘 나도록 미리 각 유형마다 정리를 잘하는 것이다. 예컨대 최댓값과 최솟값을 구하라는 문제에 대해서는 합의 꼴은 산술기하평균으로, 2차 방정식은 완전제곱꼴로, 3차 이상의 방정식은 미분으로 해결하는 방식이다.

수학의 역추론기법이란 궁극적으로 '막힘현상'을 뚫어주는데 주안점을 둔다. 문제의 결론부터 분해하여 배경지식과 레퍼토리를 이용하여 역논리적으로 활용하면 창의성이 도출되어 막힘현상이 해결된다는 이론이다.

A를 꼭 구해야만 B단계로 가는데 A를 구하기 위해 확신을 가지고 미리 정리한 배경지식과 레퍼토리를 집중적으로 활용하면 숨어 있는 길을 찾을 수 있다. 가령 눈 덮인 험악한 산을 꼭 통과(막힘현상)해야 되는데 레퍼토리라는 안내의 길과 배경지식이라는 도구 및 기술이 없다면 그 막막함은 미루어 짐작할 것이다.

수학은 심화·응용 문제를 해결할 때 만족도가 더 커진다. 유형 속의 유형으로 배경지식과 레퍼토리를 충분히 활용하여 반복·검토·확인이 습관화될 때 창의성이 도출되어 막힘현상을 극복할 수 있는 역추론수학으로 접근하는 것이 최소 노력으로 최대한의 효과를 보는 현명한 학습이다.

/하만곤 수학연구가